Integrais
Integrais indefinidas
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração por substituição
Seja expressão .
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
admitindo que se conhece .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
Integrais
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA
O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.
Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:
Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre ou seja:
ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0)
Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).
Portanto:
|
ou ainda,
|
Exemplos:
Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
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