1.Derivação da Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor.

 

 

Queremos obter uma equação para representar a reta  cuja direção é dada pelo vetor  (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que passa pelo ponto . Para isso, observe que um ponto  pertence à reta  se, e somente se, o vetor  é paralelo ao vetor v . Em outras palavras, P pertence a r se e somente se existe um escalar t tal que

 

 

As coordenadas do vetor  são

 

Portanto, o ponto P pertence a  se e somente se

ou seja, se e somente se,

 

Esta é a equação paramétrica da reta r, sendo t o parâmetro .

 

2. Interpretação Física e Geométrica

Para cada valor do paramêtro t temos um ponto no espaço, e o conjunto desses pontos dá uma reta: c omo existem infinitos valores para t , percorrendo o conjunto dos números reais, conseqüentemente estes infinitos pontos irão formar uma reta (veja a seção Exemplos, a seguir).

 

Em uma interpretação física, podemos enxergar uma reta no espaço como sendo a trajetória de uma partícula em movimento uniforme, ou seja, uma partícula que não está sujeita a nenhuma aceleração. Neste caso, o parâmetro t representa o tempo decorrido desde o instante inicial e o vetor direção  nos dá a velocidade da partícula. O módulo do vetor direção é a intensidade da velocidade (em metros por segundo, por exemplo).

A animação abaixo ilustra esse movimento. Perceba que a partícula se move com velocidade constante.

Nesta interpretação física, equações paramétricas distintas, apesar de representarem a mesma reta, tem significados completamente diferentes: elas representam partículas que se movem a partir de pontos iniciais distintos e com velocidades diferentes. Ou seja, duas partículas podem percorrer a mesma trajetória (a mesma reta), mas podem ter partido de pontos diferentes e se mover com velocidades distintas, uma mais rápida ou mais devagar que a outra (veja a seção Exemplos abaixo).

No caso de equações paramétricas de retas concorrentes, também teremos significados físicos distintos: apesar das partículas percorrerem trajetórias que se interceptam, é possível que elas nunca colidem, por terem partido com a mesma velocidade de pontos iniciais que se situam a distâncias diferentes do ponto de cruzamento das trajetórias. Pode também ocorrer o caso contrário, em que elas têm velocidades diferentes e ainda assim se encontrarem, dependendo dos seus pontos de partida (veja Exemplos).

 

3. Exemplos

 

3.1 Interpretação Geométrica

Exemplo 1

Sejam  e  um vetor e um ponto quaisquer do espaço, respectivamente. Determine a reta  que possui a direção de  e contém o ponto  .

Solução: Neste exemplo,  é o vetor diretor da reta  que passa pelo ponto  . Tomando  como um ponto genérico da reta e seguindo a explicação dada na Seção 1, teremos:

 

 

Como

 

 

e

 

 

 

segue que a equação paramétrica de r é:

 

 

 

Gráfico

Observe que para cada valor de t teremos um ponto pertencente à reta r :

Para t = 0 temos  representado pela cor amarela;

para t = 1 temos  representado pela cor vermelha;

para t = 2 temos  representado pela cor azul;

para t = 3 temos  representado pela cor verde;

para t = 4 temos  representado pela cor rosa;

para t = 5 temos  representado pela cor laranja;

Se ligarmos todos esses pontos obteremos um segmento da reta  representada pela cor preta:

 

Exemplo 2

Sejam  e  um vetor e um ponto quaisquer do espaço, respectivamente. Determine a reta r que possui a direção de V e contém o ponto  .

Solução: Tomando  como um ponto genérico da reta e seguindo a explicação geral dada anteriormente, teremos que P pertence a r se e somente se

 

Como

 

 

e

 

 

a equação paramétrica de r é dada por

Gráfico

 

Para cada valor de t temos um ponto pertencente à reta r. Se variarmos t de -10 até 8 teremos o segmento de r mostrado na animação abaixo. O ponto em movimento neste caso está representando todos os pontos pertencentes a esta reta neste intervalo.

Como neste exemplo os valores de y são nulos e o valor de z é fixo e igual à 2, teremos uma reta paralela ao eixo x que corta o eixo z na altura 2, veja: 

 

 

3.2 Interpretação Física

 

Exemplo 1 (retas coincidentes)

As equações paramétricas

 

 

com  e 

 

 

com  e 

 

 

representam a mesma reta, mas descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos iniciais distintos com a mesma velocidade. A animação abaixo mostra o movimento das partículas nesta reta.

A partícula vermelha tem ponto inicial a frente da partícula preta, e elas nunca vão se encontrar pois possuem a mesma velocidade.

 

 

Exemplo 2 (retas coincidentes)

 

As equações paramétricas

 

 

com  e 

 

 

com  e 

 

representam a mesma reta e descrevem o movimento retilíneo uniforme de duas partículas que partiram do mesmo ponto inicial  , mas com velocidades diferentes. De fato, a velocidade da segunda partícula é o dobro da velocidade da primeira, pois  . A animação abaixo mostra o movimento das partículas nesta reta.

 

Observe como a partícula vermelha se distancia da preta, pois ela tem o dobro da velocidade desta.

 

 

Exemplo 3 (retas coincidentes)

 

As equações paramétricas

 

 

com  e 

 

 

com  e 

 

representam a mesma reta, mas descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos iniciais diferentes com velocidades diferentes. A animação abaixo mostra o movimento das partículas nesta reta.

 

Observe que a partícula vermelha, por ter o dobro da velocidade da preta, irá alcançá-la e ultrapassá-la.

 

 

Exemplo 4 (retas concorrentes)

As equações paramétricas

 

 

com  e 

 

 

com  e 

 

representam duas retas concorrentes (os vetores direção não são paralelos) e descrevem o movimento retilíneo de duas partículas que não colidem. Veja na animação abaixo:

Portanto, quando temos duas equações paramétricas para duas retas diferentes, é possível que as duas retas se interceptem, mas que as partículas cujo movimento é descrito por estas duas equações nunca se encontrem (em outras palavras, não há colisão entre as partículas).

 

 

 

Exemplo 5 (retas concorrentes)

 

As equações paramétricas

 

 

com  e 

 

 

 

com  e 

 

representam duas retas concorrentes que descrevem o movimento retilíneo de duas partículas que colidem. Veja na animação abaixo:

 

 

Observe que apesar de  e  serem diferentes, suas magnitudes são iguais, portanto as partículas se deslocam com a mesma velocidade em suas respectivas retas, a partir de pontos iniciais que estão à mesma distância do ponto de cruzamento das trajetórias, possibilitando assim a colisão.

A equação geral do plano

Suponha que tenhamos um plano  no espaço, de vetor normal  e passando pelo ponto  . A figura abaixo mostra este plano em amarelo e o vetor N.

É claro que se um ponto  do espaço está neste plano, então o vetor  deve ser perpendicular a N . Sendo assim, podemos descrever como sendo o conjunto de pontos P do espaço que resolvem a equação vetorial

A figura abaixo mostra o plano  em amarelo, o vetor N em azul e um vetor  em preto, com P em  .

Escrevendo os vetores em coordenadas, temos

Portanto, a equação vetorial N .  corresponde à equação cartesiana

Daí, tomando  , obtemos a assim chamada equação geral do plano  :

A equação do plano determinado por 3 pontos não-colineares

Com as idéias desenvolvidas na primeira seção, podemos determinar a equação de um plano que passa por 3 pontos não-colineares no espaço. A única informação que precisamos obter são as coordenadas de um vetor normal ao plano determinado por estes 3 pontos.

Suponha que tenhamos 3 pontos  e  no espaço. Podemos, então, formar os vetores  e  , que são mostrados na figura abaixo (  em preto e  em vermelho).

Note que estes vetores devem ser paralelos ao plano determinado por A , B e C , tal como mostramos na figura abaixo.

Sendo assim, o vetor normal N do plano deve ser perpendicular a ambos AB e AC . Podemos, então, tomar N=AB x AC . Como A , B e C não são colineares, este produto vetorial é não nulo. A figura abaixo mostra N em azul.

Observe que este vetor é normal ao plano procurado, tal como mostramos na figura abaixo.

Como já temos o normal N , podemos escolher um ponto pelo qual o plano passe dentre qualquer um dos 3 pontos dados. Tomando o ponto A , por exemplo, a equação do plano que passa pelos pontos A , B e C será

A equação do plano determinado por um ponto e uma reta

Suponha que temos uma reta r e um ponto  fora dela tal como na figura abaixo.

Como podemos obter a equação do plano que é determinado por este ponto e por esta reta? Se formos nos basear na equação geral que deduzimos para um plano, novamente o problema consiste em obter um vetor normal para este plano.

Para isso, primeiramente formamos um vetor partindo de um ponto  qualquer da reta até o ponto  tal como na figura abaixo.

Formando o produto vetorial entre este vetor e o vetor diretor da reta (exibido em vermelho na figura abaixo), obtemos um vetor perpendicular a ambos. Este vetor será o vetor normalN (em verde) do plano procurado.

Como o nosso plano deve passar pelo ponto  , concluímos que sua equação será

Abaixo, exibimos o plano passando pela reta r e pelo ponto  .

Parametrização de um Plano

Um plano no espaço é um objeto bidimensional, logo ele precisa de uma equação em dois parâmetros para descrevê-lo. Em outras palavras, precisamos de duas coordenadas para determinar cada ponto do plano (pense no plano xy , por exemplo). Contraste esta situação com a de uma reta no espaço: a reta, sendo um objeto unidimensional, precisa de apenas um parâmetro t para ser descrita.

Outra maneira de ver que precisamos de dois parâmetros para descrever completamente um plano, é considerar o seguinte. Como já vimos anteriormente, a equação geral de um plano no espaço que passa pelo ponto  e é perpendicular ao vetor  é

ax + by + cz = d

onde  . Nesta equação, duas das variáveis são livres, isto é, podem assumir valores arbitrários independentes; a terceira variável fica determinada em função dos valores destas duas. Por exemplo, se a não é zero, podemos escolher y e z como variáveis livres e atribuir a elas valores arbitrários independentemente, digamos,  e  . Daí a variável x fica determinada: necessariamente,  . Portanto, um ponto  pertence ao plano se e somente se

para algum t e para algum s . O que fizemos também pode ser entendido do ponto de vista da resolução de sistemas lineares. De fato, a equação geral do plano nada mais é que um sistema de uma equação em 3 incógnitas, que pode ser resolvido escalonando a matriz:

Este sistema possui apenas um pivô, situado na primeira linha, logo duas variáveis devem ser livres. As duas variáveis livres são os dois parâmetros da equação paramétrica do plano.

Exemplo

Dado o plano  cuja equação geral é x + 2 y - z + 5 = 0 , determine a equação paramétrica deste plano.

Solução: Primeiro isolamos uma das variáveis em função das outras duas. Para facilitar os cálculos isolamos z :

z = x + 2 y + 5

Portanto, isso significa que escolhemos x e y como variáveis livres. Atribuindo a elas valores arbitrários, digamos x = t e y = s , obtemos a equação paramétrica do plano  :

Gráficos

Os gráficos animados mostram o plano  sendo gerado quando fazemos os parâmetros t e s percorrerem todos os valores reais. No primeiro gráfico, para cada valor fixo do parâmetro t , ao variarmos o parâmetro s obteremos uma reta; logo, como existem infinitos valores de t , existem infinitas tais retas. Retas deste tipo estão representadas no gráfico pelo movimento da reta azul . Se, por outro lado, fixarmos o parâmetro s e variarmos o parametro t teremos retas do tipo da reta vermelha representada no segundo gráfico, e como existem infinitos valores de s percorrendo o conjunto dos números reais, isso é representado pelo movimento da reta vermelha no gráfico. Tanto a reta azul como a reta vermelha varrem completamente todo o plano.

A Equação da Reta como Sistema Linear

Sejam  e  dois planos no espaço com vetores normais  e  , respectivamente. Apenas duas situação podem ocorrer: ou estes planos são paralelos ou eles se interceptam ao longo de uma reta. No primeiro caso, suas equações gerais menos o termo independente são proporcionais, pois seus vetores normais são múltiplos escalares um do outro; se suas equações gerais incluindo o termo independente forem proporcionais, então os planos são coincidentes. No segundo caso, as duas equações gerais dos planos em conjunto definem uma reta no espaço, como veremos em detalhe a seguir.

Figura 1 - Dois planos se interceptando no espaço ao longo de uma reta.

Suponha que as equações de  e  sejam  e  , respectivamente. A interseção destes dois planos nada mais é do que o conjunto de pontos que resolve estas duas equações simultaneamente. Em outras palavras, a intersecção de  e  é o conjunto solução do sistema linear

É importante notar que um sistema na forma apresentada acima não pode ter solução única, porque dois planos nunca se interceptam em um único ponto . Esta é a justificativa geométrica. Algebricamente, isso segue do fato de que um sistema com mais incógnitas que equações ou tem infinitas soluções ou não tem nenhuma; de fato, o número de pivôs é no máximo igual ao número de equações e como existem mais incógnitas do que equações, estas incógnitas a mais serão variáveis livres, a não ser que o sistema não tenha nenhuma solução.

Os exemplos abaixo ilustram estas idéias.

Exemplo 1

Suponha que dois planos  e  têm equações 2 x + 3 y + z = - 1 e x + 5 y + 2 z = 0, respectivamente. Estes planos não são paralelos, pois seus vetores normais (2, 3, 1) e (1, 5, 2) não são proporcionais (isto é, não são múltiplos um do outro). Sendo assim, eles se interceptam segundo uma reta r . Como podemos encontrar o vetor diretor v e um ponto desta reta para obter a sua equação paramétrica?

O vetor v poderia ser obtido diretamente do fato de que ele deve ser perpendicular aos vetores (2,3,1) e (1,5,2). De fato, a Figura 2 mostra os planos da Figura 1 em perfil. Note que a reta interseção destes planos é perpendicular ao plano de visão; deve-se imaginá-la como entrando e saindo da tela no ponto de interseção das duas retas que representam os dois planos em perfil.

Figura 2 - Planos em perfil e respectivos vetores normais.

Portanto, um vetor direção dela pode ser dado como o produto vetorial dos dois vetores normais aos planos:

Por outro lado, para encontrar um ponto do plano, basta encontrar pelo menos uma solução do sistema linear

 (1)

que nada mais é do que a equação de r na forma de sistema linear. Isso pode ser feito atribuindo um valor arbitrário a uma das variáveis, por exemplo z = 0, e resolvendo o sistema 2 por 2 resultante:

tem solução única  e  . Portanto, podemos tomar  e a equação paramétrica de r é

É claro que ao atribuirmos o valor arbitrário z = 0 à variável z , nada garante a priori que o sistema linear 2 por 2 resultante tenha solução (a reta r poderia ser paralela ao plano xy e não interceptá-lo em nenhum ponto). Se isso acontecesse, tentaríamos novamente com x = 0 ou y = 0, até obter um sistema 2 por 2 que tivesse solução (pois é impossível uma reta no espaço não interceptar pelo menos um dos planos xy , xz ou yz ; na Figura 3, a reta é paralela aos planos xy e xz e não os intercepta, mas intercepta o plano yz ).

Figura 3 - Reta que é paralela a dois planos coordenados (em azul e verde ); ela necessariamente intercepta o terceiro (em vermelho ).

Uma maneira de obter diretamente a equação paramétrica de r é simplesmente resolver o sistema linear (1). De fato, escalonando a matriz aumentada do sistema acima:

obtemos a matriz escalonada reduzida

Sendo assim, z é uma variável livre, à qual podemos atribuir um valor arbitrário t . Resolvendo para as outras variáveis em termos de z , obtemos a solução

Observe que esta solução é a equação paramétrica da reta r , já que os pontos de r são o conjunto solução do sistema linear (1). Esta equação paramétrica é diferente da que obtivemos acima, mas ambas representam a mesma reta: o vetor direção de uma é múltiplo escalar do vetor direção da outra (o vetor direção da segunda é 7 vezes o vetor direção da primeira) e o ponto inicial é o mesmo nas duas equações.

Exemplo 2

Suponha que uma reta r no espaço possua vetor diretor V = (1, 2, 1) e passe pela origem, de modo que uma equação paramétrica para r é

Como podemos obter uma equação para r na forma de sistema linear? Basta obtermos a equação de dois planos  e  cuja interseção seja r .

Os vetores normais  e  devem, naturalmente, ser perpendiculares a V . Se um vetor U = ( a, b, c ) for perpendicular a V , então o produto escalar entre eles é 0, portanto as coordenadas de U devem satisfazer a + 2 b+ c = 0 . Há evidentemente infinitas soluções para esta equação, porque existe um número infinito de vetores perpendiculares a V em infinitas direções. Podemos obter duas soluções particulares para esta equação, e conseqüentemente as componentes de  e  , atribuindo valores arbitrários a b e c e, em seguida, resolvendo para a . Devemos apenas ter cuidado porque queremos que os vetores  e  sejam não paralelos, para que os planos  e  se interceptem ao longo de uma reta. Podemos, por exemplo, escolher b = 0 e c = 1 e depois b = 1 e c = 0. Fazendo isso, obtemos  e  . Como a reta passa pelo ponto O = (0,0,0), os planos  e  também o fazem. Sendo assim, obtemos as equações -x+ z = 0 e -2 x+ y = 0 para  e  , respectivamente.

Portanto, a equação da reta r na forma de sistema linear é

A Equação da Reta na Forma Simétrica

Suponha que temos uma reta r de equação paramétrica

onde as componentes do vetor diretor V = ( a, b, c ) são todas não-nulas. Podemos resolver cada uma das três equações para t , obtendo

que pode ser reescrito na forma

 .

Esta última equação é a chamada equação simétrica de r .

A equação simétrica de uma reta tem uma interpretação geométrica muito simples: ela define a reta como a intersecção de 3 planos no espaço. Para ver isso, observe que a equação simétrica da reta expressa 3 igualdades, ou seja, três equações:

 .

Cada uma destas equações representa um plano. De fato, após algumas manipulações simples, podemos reescrever estas equações na forma

respectivamente. Como todas estas equações devem ser satisfeitas simultaneamente, segue-se que a equação simétrica equivale ao sistema linear

que representa a interseção dos 3 planos.

Em geral, um sistema linear com três equações em três incógnitas pode ou não representar uma reta no espaço. Isso vai depender do tipo de solução do sistema. Por exemplo, as equações do sistema podem representar três planos paralelos que não se interceptam, o que significa que o sistema não possui solução (isso também vai ocorrer se as equações representarem dois planos paralelos, isto é, duas das três equações são proporcionais e representam o mesmo plano, enquanto que a terceira tem apenas os coeficientes das variáveis proporcionais às outras duas e representa um plano paralelo).

Figura 4 - Três planos paralelos.

Outra maneira do sistema não ter solução é quando dois a dois os planos se interceptarem, mas não existe um ponto que esteja em todos os três planos ao mesmo tempo.

Figura 5 - Três planos que se interceptam dois a dois, mas cuja interseção total é vazia.

Uma outra situação que pode ocorrer é que três equações do sistema podem ser todas proporcionais uma às outras, o que significaria que as equações representam três planos coincidentes (em outras palavras, cada equação representa o mesmo plano). O conjunto solução neste caso é um conjunto infinito a dois parâmetros, pois ele representa um plano.

Pode acontecer que o sistema tenha uma única solução, isto é, os três planos se interceptem em um único ponto.

Figura 6 - Três planos que se interceptam em um único ponto.

Somente se o conjunto solução do sistema for um conjunto infinito a um parâmetro, então os três planos se interceptam ao longo de uma reta.

Figura 7 - Três planos que se interceptam ao longo de uma reta.

Dados um ponto P e um plano  no espaço, a distância entre P e o plano é definida como a menor distância possível entre P e um ponto do plano. O ponto do plano que se situa a menor distância de P é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta passando por P que é perpendicular ao plano. Portanto, a distância do ponto P ao plano é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.

Vamos obter um método para encontrar a distância entre o ponto P e o plano  . Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Ponto P = (1, 2, 3) e plano  : 2 x + z = 30

Escolha um ponto qualquer Q pertencente ao plano e considere o vetor PQ .

Figura 2 - Ponto Q = (10,10,10) e vetor PQ : (9, 8, 7) .

Podemos ver que o vetor PQ tem duas componentes: uma está contida no plano enquanto que a outra tem a mesma direção da normal ao plano (veja a Figura 3; para melhor visualização, mudamos a posição de onde vemos o ponto e o plano ). A componente na direção da normal (e que, portanto, é perpendicular ao plano) tem comprimento justamente igual à distância procurada. Assim, para encontrar o valor da distância entre P e  , basta calcular a norma da projeção de PQ sobre o vetor normal N ao plano  .

Figura 3 - Componentes do vetor PQ (em preto): componente paralela ao plano em vermelho ;

componente paralela à normal em violeta

Usando a fórmula para o vetor projeção ortogonal, temos:

Dados um ponto P e uma reta r no espaço, a distância entre P e a reta é definida como a menor dentre todas as distâncias possíveis entre P e pontos da reta r . O ponto da reta r que se situa a menor distância de P é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta que passa por P e é perpendicular à reta r . Portanto, a distância do ponto P à reta r é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.

Vamos obter um método para calcular a distância entre um ponto P e uma reta r dadas. Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Ponto P = (5, -3, 10) e reta r : (0, 4, 2) + t (4, 2, 1)

Escolha um ponto qualquer Q da reta r e considere o vetor PQ . Por exemplo, tome t = 0 na equação paramétrica de r , de modo que Q = (0, 4, 2).

Figura 2 - Vetor PQ = (-5, 7, -8) em cinza

O vetor PQ tem duas componentes: uma componente  paralela a reta r e a outra componente  em uma direção ortogonal à reta. O comprimento da componente ortogonal é exatamente a distância entre o ponto e a reta.

Figura 3 - Componentes do vetor PQ : componente paralela à reta em vermelho ; componente perpendicular à reta em azul

Entretanto, não há necessidade de se calcular a componente ortogonal  explicitamente para se obter a distância entre P e r . A componente paralela  à reta r nada mais é que a projeção do vetor PQ sobre o vetor diretor v de r . Como a norma do vetor PQ é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes, temos

Segue que

Portanto, a distância entre P e r é dada por

Como

temos

Dados dois planos  e  , a distância entre eles é definida como a menor distância possível entre pontos de um plano a pontos do outro plano, isto é,

Portanto, quando os vetores normais dos dois planos não são paralelos, os planos se interceptam, logo a distância entre eles é zero.

Figura 1 - Vetores normais não paralelos: os planos se interceptam.

Se os vetores normais dos dois planos são paralelos, então os planos são paralelos ou coincidentes. Quando os planos são paralelos, existem infinitos pares de pontos que realizam a menor distância: para cada ponto  do plano  existe um ponto  do plano  que está à distância mínima. De fato, o ponto  que se situa a menor distância de é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta que passa por  que é perpendicular aos planos e o plano  . Portanto, a distância dos dois planos é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.

Figura 2 - Planos paralelos: o plano azul tem equação x + 2 y - 2 z = -1; o plano vermelho tem equação 2 x + 4 y - 4 z = -4.

Podemos tomar N = (1, 2, -2).

Não há, entretanto, necessidade de obter os pontos  e  explicitamente para obter a distância entre os dois planos. Tome um ponto qualquer P do plano  e um ponto qualquer Q do plano  . Projete o vetor PQ ortogonalmente sobre o vetor normal N dos planos. O comprimento desta projeção é a distância entre os planos. Acompanhe o exemplo ilustrado nas Figuras 2 e 3 para fixar idéias.

Figura 3 - O vetor PQ é o vetor verde e sua projeção sobre a normal é o vetor preto . Escolhendo P = (-1, 0, 0) e

Q = (0, 0, 1), temos PQ = (1,0,1).

Portanto, temos

Retas Reversas

Duas retas r e s são reversas se não existe nenhum plano que as contém simultaneamente. Em outras palavras, além delas nunca se interceptarem (o que também é o caso quando as retas são paralelas), seus vetores diretores também não podem ser paralelos.

Para verificar se duas retas r e s são reversas, tome um ponto qualquer  da reta r e um ponto qualquer  da reta s. Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Pontos  e  escolhidos em r e s , respectivamente. 
Equação da reta r ( vermelha ) : (1 + 2 t , 3 + 4 t , 5 + t ) 
Equação da reta s ( azul ): (1 + 2 t , -1 + 2 t , - 3 + t ) 

Defina a partir desses pontos o vetor  . Sejam  e  os vetores diretores respectivos das retas r e s . Se  ,  e  não forem coplanares, então não existe um plano que contenha as duas retas, logo elas são reversas.

Figura 2 - Retas reversas r e s , seus vetores diretores  ( vermelho ) e  ( azul ), e o vetor  ( cinza )

Vemos na Figura 2 que não existe nenhum plano que contenha os três vetores.

Para verificar algebricamente se os vetores são coplanares, verificamos se o seu produto misto é zero ou não. Lembre-se que o módulo do produto misto de três vetores dá o volume do paralelepípedo determinado por estes três vetores. Se ele for igual a zero, isso significa que os vetores não determinam um paralelepípedo, e isso só pode acontecer porque eles são coplanares, pois três vetores que não estão todos no mesmo plano sempre determinam um paralelepípedo. Portanto, escrevendo os vetores em coordenadas:

pois  =  = (1, -1, 3) - (1, 3, 5) = (0, -4, -2), obtemos

e portanto as retas r e s são reversas.

1. Ângulo entre Vetores No Espaço

Dois vetores no espaço formam dois ângulos entre si cuja soma é  . Para ver isso, lembre-se que dois vetores não paralelos determinam um plano no espaço, logo podemos enxergá-los neste plano que os contém; escolha representantes destes vetores com o mesmo ponto inicial e então é fácil ver que as duas semi-retas que contêm estes vetores determinam dois ângulos cuja soma é  . Definimos o ângulo entre os dois vetores como sendo o menor destes dois ângulos. Por esse motivo, o ângulo entre dois vetores tem sempre um valor entre 0 e  , inclusive. Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, o ângulo entre eles é igual a 0, enquanto que se eles são paralelos mas de sentidos opostos, então o ângulo entre eles é igual a  .

Usando o produto escalar, pode-se calcular precisamente o ângulo entre dois vetores v e w conhecidos. Como

segue que o ângulo  entre os vetores v e w é dado por

Veja os exemplos a seguir:

Figura 1 - Os vetores vermelho e azul formam um ângulo agudo

Figura 2 - Estes vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, logo formam um ângulo igual a zero.

Usaremos isso para calcular nas próximas seções os ângulos entre duas retas, entre dois planos e entre uma reta e um plano.

2. Ângulo entre Duas Retas

Duas retas que se interceptam determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos. Se as retas  e são reversas, então existe um ponto P de  por onde passa uma reta  paralela a  . O ângulo entre  e  é definido como sendo o ângulo entre  e  (veja Figura 3 abaixo). Se as retas são paralelas o ângulo entre elas é igual a zero.

 
Figura 3 - Ângulo entre duas retas reversas: reta  em vermelho e retas  e  em azul ; reta  interceptando 

Em particular, o ângulo entre duas retas têm sempre um valor entre 0 e  , inclusive. Por esse motivo também, o ângulo entre duas retas não é necessariamente o ângulo entre os seus vetores direção, pois, dependendo da escolha dos vetores direção (há dois sentidos que podemos escolher), eles podem formam um ângulo obtuso. Mas, se esse for o caso, isto é, se na nossa escolha inicial de vetores direção para as duas retas tivermos escolhido dois vetores que formam um ângulo obtuso, basta reverter uma das escolhas e tomar o vetor no sentido oposto. Isso equivale a tomar o módulo do produto escalar. Portanto, o ângulo  entre duas retas r e s cujos vetores direção são, respectivamente,  e  , é dado por

3 . Ângulo entre Dois Planos

Para entender como o ângulo entre dois planos é definido, gire o primeiro gráfico da Figura 4 de forma que os dois planos fiquem de perfil como no segundo gráfico da mesma figura, ou seja, de modo que eles sejam vistos como duas retas. O ângulo entre os planos é definido como o ângulo entre estas duas retas. Observe que os vetores representado nos gráficos são vetores normais aos respectivos planos (por esse motivo eles estão representados com a mesma cor).

 

Figura 4

Vamos examinar o gráfico na direita da Figura 4 com mais detalhe:

Figura 5 - Visão do gráfico da figura 4 de perfil. O ângulo representado pelo arco laranja é  , o arco preto representa o ângulo  e o arco verde  .

Como os vetor azul é perpendicular à reta (plano) azul e o vetor vermelho é perpendicular à reta (plano) vermelha, temos

Portanto,

Concluímos que o ângulo entre dois planos é o ângulo entre as retas definidas por suas normais. Em outras palavras, se  e  são os vetores normais dos planos  e  , então o ângulo entre estes dois planos é dado por

4. Ângulo entre uma Reta e um Plano

O ângulo entre uma reta r e um plano  , quando eles se interceptam em um ponto, é definido como sendo o menor ângulo possível entre todos os ângulos que a reta r faz com as retas contidas no plano que a interceptam. Este menor ângulo é realizado justamente pela reta do plano que é a projeção ortogonal da reta r (veja a Figura 6). Uma outra maneira de ver isso é dizer que o ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo mínimo entre o plano e a reta dentre todas as visões de perfil possíveis do plano (veja a Figura 7 e a discussão que a precede).

Se a reta nunca intercepta o plano ou está inteiramente contida no plano (isto é, ela é paralela ao plano), o ângulo entre a reta e o plano é igual a 0.

Figura 6- A reta r (em vermelho) forma um ângulo com o plano  (em lilás) que é igual ao ângulo que ela faz com a sua projeção no plano (em azul).

A animação abaixo mostra a visão que se tem quando vemos todas as visões de perfil do plano da figura 6. Note como o ângulo entre a reta e o plano varia desde um valor mínimo, aumentando até passar por um valor máximo de 90 graus (ângulo reto), depois diminuindo até assumir o valor mínimo novamente. 

Figura 7 - Giro de 360 graus no gráfico da figura 7 com o plano visto em perfil.

No gráfico a seguir, o plano está na posição em perfil em que temos o menor ângulo possível (representado pelo arco em laranja). O vetor em lilás representa um vetor normal ao plano.

Figura 8 - Visão do plano em perfil, com o menor ângulo possível entre as retas. O arco laranja representa  e o arco verde  .

O ângulo  é o ângulo entre a reta na direção do vetor N normal ao plano  e o vetor direção v da reta r , ou seja

Como

segue que o ângulo entre a reta r e o plano  é dado por